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東大そっくり問題にチャレンジ!

東大の要求している発想力・思考力をはかるオリジナル問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください。

英語

Q. 次の英文には、文法上取り除かなければならない語が一語ある。該当する語とその直後の一語、合わせて二語をその順に記せ。文の最後の語を取り除かなければならない場合は、該当する語と×(バツ)を記せ。

This state of things might have lasted until her career had ended in the expected way which had not her employer, the head of the firm, died and his daughter, a young woman with modern ideas and a determination to increase its business, come into possession.

A. 不要語:which、直後の一語:had

「その会社の社長である彼女の雇い主が死去し、現代的な考え方と事業を拡張しようという決意を持った若い娘がその会社を所有するようにならなかったならば、このような状況は彼女の仕事人生が終わるまで,思ったとおりの形で続いていたかもしれない」

出題が長く続いていた不要語削除問題を想定したオリジナル問題です。まずは、和訳を作成する感覚で、英文の構造を分析し、構造上の問題が発生しないかチェックします。主語はS、動詞はV、修飾要素はMの記号をつけます。動詞のカタマリには下線、副詞のカタマリには(  )をつけてみます。

SThis state of things Vmight have lasted

M(until her career had ended) M(in the expected way)

ここまでに構造上の問題はありません。続いて、whichが登場します。続く部分がhad notとあるので、これは関係代名詞です。

which had not her employer, the head of the firm, died and his daughter, a young woman with modern ideas and a determination to increase its business, come into possession.

had notとあれば、過去完了形のサインですが、続く過去分詞の動詞がありません。よって、このあたりに問題が発生していることがわかります。notを外しても、hadに対する過去分詞の動詞がない状態に変化はありません。hadを外すと関係代名詞whichに対する動詞が消えてしまいます。そこでwhichを外しますが、これによってどう問題が解消されたか気づいたでしょうか?

これに気づくには、実は冒頭の動詞might have lastedに着眼することが必要です。〈助動詞の過去形+完了形〉は、仮定法過去完了の帰結部分です。ということは、「もし~ならば」という仮定を示す箇所が、本文中のどこかにあるはずだと予想をつけます。

仮定を示すには、①ifを用いた節、②ifを省略した節、③if節以外の代用表現、の3つの方法がありますが、本文の場合、②のifを省略した節だと気づけたでしょうか。ifが省略されると倒置が発生することはみなさんご存じかと思います。

本来は、if her employer had not died and his daughter (had not) come into possessionという語順であったものからifのみが省略され、倒置が発生しているのです。

東京大学の入試問題は難しいという印象があり、なるほど一見複雑なように見えますが、今回のオリジナル類似問題からもわかるように、既知のごく基本的な知識や概念を、適切に使いこなすことさえできれば、解決することが可能なのです。遠い先に東京大学受験を考えている人は、良質な基礎力の徹底した学習を心がけ、来春東大受験を予定している人は、いま一度頭の働かせ方を工夫し、東京大学の作題の構造を意識して取り組んでください。早稲田アカデミー大学受験部では、ピントのずれた問題をいたずらにこなすだけの授業はしていません。つねに東大固有の作題の構造を意識し、良質な類題を丁寧に扱いながら、基礎の延長にこそ、高度な語学力が形成されることを実感させることを心がけています。

数学

Q. 次の方程式を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。

x4+x3+x2+x+1=y2…(☆)

(解)

(Ⅰ) まずx≥2,y≥0のとき、

yをx進数とみる:y=a+bx+cx2+dx3+ex4+…

(これは有限和でa,b,c,d,e,…は0以上x-1以下の整数)。

(☆)よりd=e=…=0,c=1は明らかである。そこで、

y=x2+bx+aとすると、y2=x4+2bx3+(2a+b2)x2+2abx+a2

これと(☆)の左辺のx3の項とを比較する。

b≥とするとx≥2よりx3>x+1なので、

y2≥x4+2x3+x2>x4+x3+x2+x+1=y2となり矛盾。よってb=0

このとき、y2=x4+2ax2+a2

a2<x2よりa2はx2の位に影響しないので

つまり、連立方程式

が成り立つ。これを解いて、x=3,a=2,y=x2+a=11

組(x,y)が(☆)を満たすとき組(x,-y)も(☆)を満たす。

よって、x≥2を満たす(☆)の解は(x,y)=(3,±11)

(Ⅱ) x=1のときy2=5となり、不適。

(Ⅲ) x=0のときy=±1

(Ⅳ) x=-1のときy=±1

(Ⅴ) x≤-2,y≥0のとき、x=-z とおくと、

(☆)はz4-z3+z2-z+1=(z-1)z3+(z-1)z+1=y2…(☆☆)

となる。再びyをz進数と見ると、左辺が4桁であることから、

yは2桁以下である。

y=az+b(0≤a,b≤z-1)とおくと、y2=a2z2+2abz+b2であるが、

これと(☆☆)からz2の位が繰り上がって(z-1)z3が出現することになる。

しかし、a2z2≤(z-1)2z2<(z-1)z3なので、これは不可能。

y<0のときも同様。

以上より、(x,y)=(3,±11),(0,±1),(-1,±1)

“大数”読者諸君へ
~早稲アカからの挑戦状!~

Q. 1から100までの自然数を要素とする集合で要素の総和が3の倍数となるものはいくつあるか。

(解)

ƒ(x)=(1+x)(1+x2)…(1+x100)とおくと、

ƒ(x)の展開式にはx2+5+8、x1+2+…+100のように問題に言う集合の要素の総和を指数とする項が1つずつ現れる。

(1=x0(これは空集合に対応)を除く。)

ωを1の虚数3乗根の1つとするとn∈Nのとき13n3n+(ω2)3n=1+1+1=3であるが、

13n+13n+1+(ω2)3n+1=1+ω+ω2=0、13n+23n+2+(ω2)3n+2=1+ω2+ω=0であるから、

が求める数となる。

ここでƒ(1)=2100は明らか。また、ƒ(ω)=(1+ω)(1+ω2)…(1+ω200)において

1+ω=-ω2、1+ω2=-ωより(1+ω)(1+ω2)=(-ω2)(-ω)=1

同様に、(1+ω4)(1+ω5)=…=(1+ω97)(1+ω98)=1であり、

1+ω3=1+ω6=…=1+ω99=2、1+ω100=1+ω=-ω2であるから、ƒ(ω)=-233ω2

同様にして、ƒ(ω2)=-233ωであり、

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